根號15與根號17誰更接近4：一道知乎數學題的解法整理與嚴格證明

「根號15和根號17誰更接近4？」這個問題近來出現在知乎提問區，提問者自述是在瀏覽時刷到這道題，想看看有沒有「更嚴謹的解法」。本臺綜合該提問頁面的公開內容與數學上的標準論證方式，整理問題輪廓、直覺解法的風險，以及不依賴計算機的嚴格比較過程。

先給結論：根號17更接近4。兩者的距離分別約為0.1273與0.1231，差距相當小，但方向明確。這也是這道題在社羣流傳的原因之一，直覺容易給出錯誤答案，而嚴格論證只需要中學程度的代數操作。

直覺為何容易出錯

多數人面對這道題的第一反應，是注意到15比17更接近16，而4正是16的平方根。既然15與17到16的距離都是1，很容易推論兩個平方根到4的距離也「應該差不多」，甚至認為根號15因為「在4左邊比較近」而更接近。

這個直覺的前半段沒有問題，後半段則忽略了一個關鍵性質：平方根函數是凹函數，其圖形在整個定義域上「越往右越平緩」。換句話說，同樣橫座標間隔1，在15附近造成的縱座標落差，小於在16附近造成的落差。因此從16往左走1（到15），縱座標下降的量會大於從16往右走1（到17）縱座紹上升的量。根號15落在4左側較遠處，根號17落在4右側較近處。

用凹函數的語言陳述即是：對凹函數而言，在對稱區間中點兩側取值，右側端點的函數值距離中點函數值更近。這是一般性的解釋，但要成為可查驗的證明，仍需具體推導。

嚴格證明：全程不開根號

不使用計算機、不查近似值，比較兩段距離的方法是把它們放到同一個不等式裡。設定的目標是比較 4−√15 與 √17−4 的大小。

兩式皆為正數，直接相減不容易處理。標準做法是先比較它們的和與兩倍的關係。注意到 (4−√15) + (√17−4) = √17 − √15，這一步並未直接解決問題，因此改用另一條路徑：比較兩段距離，等價於比較 8 與 √15 + √17。若 8 > √15 + √17，則根號17那側的距離較短。

具體推導如下。若 4−√15 > √17−4，移項可得 8 > √15 + √17。兩邊均為正數，可以平方：64 > 15 + 17 + 2√255，化簡為 32 > 2√255，再約簡為 16 > √255。再平方一次，比較 256 與 255。256 大於 255，成立。

由於每一步平方都在正數範圍內進行，不等號方向全程有效，因此 4−√15 > √17−4 成立，也就是根號17比根號15更接近4。整個論證只用到「正數兩邊平方保持不等號方向」這一個性質，以及兩次乘法展開，不需要任何近似計算。

值得一提的是，最後一步出現的256與255，差值恰好為1。這並非巧合：題目中16恰好是完全平方數，兩側偏差同為1，使得比較最終落到 16² 與 15×17 的對比上。一般化地，對任意正數 a，比較 √(a²−1) 與 √(a²+1) 何者更接近 a，等價於比較 a⁴ 與 (a²−1)(a²+1) = a⁴−1，後者恆小於前者，因此右側的平方根恆更接近 a。本題只是 a=4 的特例。

近似值對照與常見解法出入

回到該知乎提問下的公開內容，答案區可見幾類做法，彼此的嚴謹程度有別。

最直接的一類是報出近似值：√15 ≈ 3.87298，√17 ≈ 4.12311，分別與4相差0.12702與0.12311，後者較小。這類答案結論正確，但依賴計算工具，提問者所說「想看更嚴謎的解法」，指的正是希望避開這條路。

另一類用不等式夾估，例如從 3.87² = 14.9769 < 15 出發逐位逼近。這種方法可以自行驗算，但步驟冗長，且精度需求高，因為兩段距離的差距只有約0.004，夾估到小數點後三位仍不足以分辨。

還有一類利用平方的單調性：√15 < 4 對應 15 < 16，√17 > 4 對應 17 > 16，但這只說明了兩者分別在4的兩側，沒有比較距離，屬於常見的不完整論證。提問頁面也有回應者以函數凹性作圖說明，方向正確，但嚴格說來，圖形直觀與「凹函數在中點兩側的落差不對稱」的代數刻畫之間仍需銜接，前述 256 對 255 的推導即提供了這個銜接。

這類題目為何在社羣反覆出現

同型的比較題在中文問答平臺上有長期的流傳紀錄，變體包括「√n與√(n+2)誰更接近√(n+1)」「√99與√101誰更接近10」等。它們的共同特徵是：結論與直覺相反或差距極小，且存在一條不需計算工具的乾淨證明路徑，因此常被用於教學示範「平方消去根號」的技巧。

從資訊查核的角度看，這類題目本身的答案沒有爭議空間，分歧只在於論證的完備程度。把「15與17都距離16為1」直接推到「兩個平方根等距離4」，是此題最常見的錯誤推論，也是各答案區出現較多糾正討論的位置。對照而言，前述「比較8與√15+√17、兩次平方、落到256對255」的推導，是該題目前可查驗的較短路徑之一。

本臺按提問頁面與標準數學性質整理如上。該題屬於純數學內容，不涉及事件性時效，結論與證明過程均可由讀者自行覆核：拿起紙筆，對 8 > √15 + √17 兩邊各平方一次，再平方一次即可。